والتناظر كالمؤلفة في صنف من مقدار من نصف وثلث وخمس، وفي صنف آخر من مقدار آخر كذلك على الترتيب. والمساواة المضطربة هي أن تكون مؤلفة من أجزاء متساوية على التناظر لا على الولاء كالمؤلفة في صنف من نصف وثلث وخمس في صنف آخر من ثلث ونصف وخمس أو من خمس ونصف وثلث ونحو ذلك فالمنتظمة والمضطربة لا توجد إلا عند كون الصنفين من المقادير بخلاف مطلق المساواة فإن المعتبر في مطلق المساواة نسبة الأطراف دون الأوساط. والنسب المتوالية أن يكون كل واحد من الحدود المتوسطة بين الطرفين مشتركا بين نسبتين من تلك النسب، فإذا كانت المقادير ثلاثة كانت النسب نسبتين وإذا كانت أربعة كانت النسب ثلاثا وعلى هذا المثال يكون عدد النسب أبدا أقل من عدد المقادير بواحد مثلا في المثال المذكور أربعة مقادير والنسب ثلاثة متوالية فإن نسبة الطرفين كنسبة اإلى ب ونسبة ب إلى ج ونسبة ج إلى د فحدودها المتوسطة هي ب ج وكل منهما مشتركة بين نسبتين منها، فإن ب مأخوذ في النسبة الأولى والثانية وج مأخوذ بين الثانية والثالثة، فإذا أخذ نسبة اإلى ب ونسبة ج إلى د كانت النسبتان غير متواليتين لعدم اشتراك الحدود. هذا وتسمى النسب المتوالية متصلة كما تسمى الغير المتوالية منفصلة، ومن النسب المتصلة النسب التي بين الأجناس الجبرية وبين الأعداد الثلاثة المتناسبة، ومن المنفصلة النسب التي بين الأعداد الأربعة المتناسبة. ثم عدد الأعداد المتناسبة إن كان فردا كالثلاثة المتناسبة والخمسة المتناسبة تسمى تلك الأعداد متناسبة الفرد ونسبها لا تكون إلا متصلة أي متوالية، وإن كان زوجا كالأربعة المتناسبة والستة المتناسبة تسمى متناسبة الزوج ونسبها قد تكون متصلة وقد تكون منفصلة، وتناظر النسب وتناسبها وتشابهها هو الاتحاد فيها، انتهى ما حاصلهما. وهذا الذي ذكر إنما هو في المقادير وعليه فقس البساطة والتأليف والمساواة وغيرها في الأعداد.

واعلم أيضا أن إبدال النسبة ويسمى تبديل النسبة أيضا عندهم عبارة عن اعتبار نسبة المقدم إلى المقدم والتالي إلى التالي. مثلا قسنا الخمسة إلى العشرة فالخمسة حينئذ مقدم والعشرة تال، ثم قسنا الأربعة إلى الثمانية فالأربعة مقدم والثمانية تال. فإذا قسنا الخمسة المقدم إلى الأربعة المقدم الآخر وقسنا العشرة التالي إلى الثمانية التالي الآخر فهذا القياس يسمى بالإبدال والتبديل وتفضيل النسبة عندهم أربعة أقسام. الأول أن تعتبر نسبة فضل المقدم على التالي إلى التالي وهذا هو المتعارف المشهور في الكتب، مثلا المقدم ثمانية والتالي ستة وفضل المقدم على التالي اثنان فإذا اعتبرنا نسبة الاثنين إلى الستة كان ذلك تفضيل النسبة.

والثاني أن تعتبر فضل التالي على المقدم إلى المقدم. والثالث أن تعتبر نسبة فضل المقدم على التالي إلى المقدم. والرابع أن تعتبر نسبة فضل التالي على المقدم إلى التالي. وقلب النسبة عندهم هو أن تعتبر نسبة المقدم إلى فضله على التالي وأمثلة الجميع ظاهرة. هذا خلاصة ما ذكر عبد العلي البرجندي في شرح بيست باب وحاشيته. وغيره في حاشية تحرير اقليدس القلب عكس التفضيل ولا فرق بين أن ينسب المقدم إلى التفاضل أو التالي إليه أو يكون الفضل للمقدم أو للتالي كما في التفضيل انتهى.

فقد بان من هذا أن القلب أيضا أربعة أقسام، وعكس النسبة وخلافها عندهم جعل المقدم تاليا في النسبة والتالي مقدما فيها. مثلا إذا كان المقدم ثمانية والتالي ستة فإذا قسنا الستة إلى الثمانية فقد صار الأمر بالعكس أي صار الستة مقدما والثمانية تاليا، وتركيب النسبة عندهم هو اعتبار نسبة مجموع المقدم والتالي إلى التالي.