ومنطقة أوساط البروج لمرورها هناك، وعلى قطبين غير قطبي العالم يسميان بقطبي البروج.

ويلزم من اختلاف الأقطاب مع اتحاد المركزين أن تقاطع منطقة البروج معدل النهار على نقطتين متقابلتين إذا توهم منطقة البروج في سطح الفلك الأعلى وأما أفلاك السبع السيارة ويسمى كل منها كرة الكوكب والفلك الكلي له. ففلك زحل جرم كري يحيط به سطحان متوازيان مقعرهما يماس محدب فلك المشتري ومحدبهما يماس مقعر فلك البروج، وهكذا إلى فلك القمر، بل إلى الأرض يعني أن مقعر فلك المشتري يماس محدب فلك المريخ، ومقعر فلك المريخ يماس محدب فلك الشمس، ومقعر فلك الشمس يماس محدب فلك الزهرة، ومقعر فلك الزهرة يماس محدب فلك عطارد، ومقعر فلك عطارد يماس محدب فلك الجوزهر، ومقعر فلك الجوزهر يماس محدب المائل، ومقعر المائل يماس محدب كرة النار، ومقعر كرة النار يماس محدب كرة الهواء، ومقعر كرة الهواء يماس مجموع كرة الماء والأرض، ومقعر بعض كرة الماء يماس بعض سطح الأرض. وأما الأفلاك الجزئية فنقول فلك الشمس جرم كري يحيط به سطحان متوازيان مركزهما مركز العالم ومنطقته وقطباها في سطح منطقة البروج وقطبيه، ولذا سمي بالفلك الممثل أيضا. وفي داخل هذا الفلك بين سطحيه المتوازيين لا في جوفه فلك آخر جزئي يسمى بالخارج المركز وبفلك الأوج أيضا وهو جرم كري شامل للأرض يحيط به سطحان متوازيان مركزهما خارج عن مركز العالم محدب سطحيه يماس لمحدب سطحي الفلك الأول المسمى بالممثل على نقطة مشتركة بين منطقتيهما، وتسمى هذه النقطة بالأوج، ومقعر سطحيه يماس مقعر سطحي الأول على نقطة مشتركة بينهما مقابلة للأوج، وتسمى بالحضيض. فبالضرورة يصير الفلك الأول كرتين غير متوازيتين سطوحا بل مختلفتي الثخن، إحداهما حاوية للخارج المركز والأخرى محوية له. والحاصل أن بعد إفراز الفلك الخارج المركز من الأول يبقى من جرم الأول جسمان يحيط بكل منهما سطحان مستديران مختلفا الثخن غلظا ورقة. فرقة الحاوية منهما مما يلي الأوج وغلظها مما يلي الحضيض. ورقة المحوية مما يلي الحضيض وغلظها ما يلي الأوج وتسمى كل واحدة من هاتين الكرتين متمما إذ بانضمامهما إلى خارج المركز يحصل ممثل الشمس. والشمس جرم كري مصمت مركوز في جرم الخارج المركز مغرق فيه بحيث يساوي قطره ثخن الخارج المركز ويماس سطحها سطحيه. وأما أفلاك الكواكب العلوية والزهرية فهي بعينها كفلك الشمس تشتمل على كل منها على خارج مركز مسمى بالحامل وعلى متممين، إلا أن لكل منها فلكا صغيرا غير شامل للأرض مسمى بالتدوير وهو مصمت، إذ لا حاجة إلى مقعره ومركوز ومغرق في جرم الحامل بحيث يماس سطحه سطحي الحامل على رسم الشمس في خارج مركزها؛ وكل من هذه الكواكب جرم كري مصمت في جرم فلك التدوير مغرق فيه بحيث يماس سطحه سطح التدوير على نقطة مشتركة بينهما. وأما فلكا عطارد والقمر فيشتركان في أن كل واحد منهما مشتمل على ثلاثة أفلاك شاملة للأرض وعلى فلك تدوير إلا أن بينهما فرقا وهو أن فلك عطارد مشتمل على فلك هو الممثل وعلى فلكين خارجي المركز، أحدهما وهو الحاوي للخارج الآخر لكون الآخر في ثخنه ويسمى المدير لإدارته مركز الحامل الذي هو الخارج الآخر، وهو فيما بين سطحي الممثل لا في جوفه بحيث يماس محدبه محدب الممثل، على نقطة مشتركة بينهما وهي الأوج، ومقعره يماس مقعر الممثل على نقطة مشتركة بينهما مقابلة له وهي